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Programmierkonzept

Was ist eine For-Schleife?

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Was ist eine For-Schleife?

Eine For-Schleife ist eine Methode in der Programmierung, um wiederholende Aufgaben zu vereinfachen, indem sie eine bestimmte Aktion mehrmals nacheinander ausführt. Sie geht Schritt für Schritt durch eine Sammlung von Elementen und wendet auf jedes Element den gleichen Vorgang an, wodurch Zeit und Aufwand gespart werden.

Gründe für die Verwendung einer For-Schleife:

• Automatisierung: For-Schleifen ermöglichen es, wiederkehrende Aufgaben oder Berechnungen effizient durchzuführen, ohne redundanten Code zu schreiben.
• Lesbarkeit: For-Schleifen verbessern die Lesbarkeit und Verständlichkeit des Codes, indem sie klare Strukturen für wiederholende Prozesse bieten.
• Flexibilität: For-Schleifen können mit verschiedenen iterierbaren Objekten arbeiten, was sie für zahlreiche Anwendungsfälle und Datenstrukturen nützlich macht.

Analogie: Excel

Programmierkonzept

Syntax in Python

Programmierkonzept

Syntax in Python

Die Syntax einer For-Schleife in Python ist wie folgt:

for element in collection:
    # do something with element

• element: Der Name der Variablen, die für jedes Element der Sammlung verwendet wird. Kann frei gewählt werden.
• in: Das Schlüsselwort, das die Schleife mit der Sammlung verbindet.
• collection: Die Sammlung, die durchlaufen werden soll. Kann jedes Objekt sein, das iterierbar ist, z. B. eine Liste

Beispiel: For-Schleife

Programmierkonzept

Bilden wir das Excel-Beispiel aus der vorherigen Folie in Python um.

namen = ["Herbert", "Norbert", "Pit", "Tim", "Kunigunde"] 
for name in namen: 
    anz_buchstaben = len(name)
    print(anz_buchstaben)

• name: Name der Variablen, die für jedes Element der Sammlung verwendet wird. Kann frei gewählt werden.
• anz_buchstaben: Name der Variablen, die für die Anzahl der Buchstaben verwendet wird. Kann frei gewählt werden.
• len(name): Die Funktion len() gibt die Länge eines Objekts zurück. In diesem Fall die Länge des Strings name.
• print(anz_buchstaben): Die Funktion print() gibt den Inhalt der Variablen anz_buchstaben aus.

Beispiel: For-Schleife (cont’d)

Programmierkonzept

Wichtig: im Beispiel werden die Ergebnisse nur ausgegeben, jedoch nicht gespeichert.

• die Variable anz_buchstaben wird für jeden Durchlauf der Schleife neu definiert, d.h. der Inhalt der Variable wird überschrieben

• die Variable anz_buchstaben hat nach dem letzten Durchlauf der Schleife den Wert der letzten Iteration

Beispiel: Ausgabe der Variable anz_buchstaben nach dem letzten Durchlauf der Schleife

namen = ["Herbert", "Norbert", "Pit", "Tim", "Kunigunde"] 
for name in namen: 
    anz_buchstaben = len(name)

anz_buchstaben

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Beispiel: For-Schleife mit Speicherung

Programmierkonzept

Wenn wir die Ergebnisse der Berechnung speichern möchten, können wir eine leere Liste definieren und die Ergebnisse der Berechnung mit der Funktion append() hinzufügen.

Beispiel:

namen = ["Herbert", "Norbert", "Pit", "Tim", "Kunigunde"] 
länge_namen = []
for name in namen: 
    anz_buchstaben = len(name)
    länge_namen.append(anz_buchstaben)

länge_namen

[7, 7, 3, 3, 9]

• länge_namen: Name der Liste, in der die Ergebnisse gespeichert werden sollen. Kann frei gewählt werden.
• länge_namen.append(anz_buchstaben): Die Funktion append() fügt ein Element an das Ende der Liste an. In diesem Fall die Anzahl der Buchstaben anz_buchstaben.

Aufgabe: Mehrwertsteuer

Programmierkonzept

# Annahmen
preise = [10, 20, 30, 40, 50]
mehrwertsteuer_satz = 0.19

# For-Schleife zur Berechnung der Mehrwertsteuer

# Annahmen
preise = [10, 20, 30, 40, 50]
mehrwertsteuer_satz = 0.19

# For-Schleife zur Berechnung der Mehrwertsteuer
preise_brutto = []
for preis in preise:
    preis_brutto = preis * (1 + mehrwertsteuer_satz)
    preise_brutto.append(preis_brutto)

preise_brutto

[11.899999999999999,
 23.799999999999997,
 35.699999999999996,
 47.599999999999994,
 59.5]

Drei nützliche Funktionen für For-Schleifen

Programmierkonzept

enumerate()

Die Funktion enumerate() gibt ein Objekt zurück, das die Elemente einer Sammlung enthält und die Nummer des Elements enthält.

namen = ["Herbert", "Norbert", "Pit", "Tim", "Kunigunde"]
for i, name in enumerate(namen):
    print(i, name)

• i: Nummer des Elements (beginnend bei 0)
• name: Element der Sammlung

Drei nützliche Funktionen für For-Schleifen

Programmierkonzept

zip()

Die Funktion zip() gibt ein Objekt zurück, das die Elemente mehrerer Sammlungen enthält.

vornamen = ["Herbert", "Norbert", "Pit", "Tim", "Kunigunde"]
nachnamen = ["Müller", "Schmidt", "Meier", "Schulze", "Schmidt"]

for vorname, nachname in zip(vornamen, nachnamen):
    print(vorname, nachname)

• vorname: Element der Sammlung vornamen
• nachname: Element der Sammlung nachnamen

Drei nützliche Funktionen für For-Schleifen

Programmierkonzept

range()

Die Funktion range() gibt ein Objekt zurück, das eine Sequenz von Zahlen enthält.

for i in range(5):
    print(i)

• i: Element der Sequenz von Zahlen, die von range() zurückgegeben wird
• range kann mit drei Argumenten aufgerufen werden: range(start, stop, step)
  • start: Startwert der Sequenz (Standardwert: 0)
  • stop: Stopwert der Sequenz (Standardwert: 1)
  • step: Schrittweite der Sequenz (Standardwert: 1)
  • Beispiel: range(1, 10, 2) gibt die Sequenz 1, 3, 5, 7, 9 zurück

Aufgabe: rollierende Durchschnitte

Programmierkonzept

Aufgabenstellung:

In dieser Übungsaufgabe erhaltet ihr eine Liste mit täglichen Aktienkursen eines Unternehmens für einen Monat. Eure Aufgabe besteht darin, die rollierenden Durchschnittskurse für einen Zeitraum von 5 Tagen zu berechnen und auszugeben.

Anforderungen:

• Verwende eine For-Schleife, um durch die Liste der Aktienkurse zu iterieren.

• Berechne den 5-Tage-Durchschnitt für jeden Kurs in der Liste, beginnend mit dem fünften Tag.

• Speichere die berechneten Durchschnittskurse in einer neuen Liste.

• Speicher Aktienkurse und Durchschnittskurse in einem DataFrame

• Plotte die Aktienkurse und die Durchschnittskurse in einem Diagramm.

aktienkurse = [100, 102, 99, 101, 98, 95, 97, 93, 96, 92, 
                90, 87, 89, 85, 84, 86, 88, 87, 91, 92, 94, 
                96, 93, 95, 97, 94, 92, 89, 91, 88]

Lösung: rollierende Durchschnitte

Programmierkonzept

# Liste der Aktienkurse
aktienkurse = [100, 102, 99, 101, 98, 95, 97, 93, 96, 92, 90, 87, 89, 85, 84, 86, 88, 87, 91, 92, 94, 96, 93, 95, 97, 94, 92, 89, 91, 88]

# Leere Liste für die rollierenden Durchschnittskurse
rollierende_durchschnitte = []

# For-Schleife zur Berechnung der rollierenden Durchschnittskurse
for i in range(len(aktienkurse) - 4):
    durchschnitt = sum(aktienkurse[i:i + 5]) / 5
    rollierende_durchschnitte.append(durchschnitt)

# Speichern in DataFrame
data = pd.DataFrame({"Kurs": aktienkurse})
data.loc[4:, "MA"] = rollierende_durchschnitte

# Plotte als Liniendiagramm (alternative: data.plot())
sns.lineplot(data=data, x=data.index, y="Kurs")
sns.lineplot(data=data, x=data.index, y="MA")
plt.title("Aktienkurse und rollierende Durchschnitte")
plt.xlabel("Tag")
plt.legend(["Kurs", "MA"]);

Lösung: eigene Funktion

Programmierkonzept

Rollierender Durchschnitt sollte - bei obigen Beispiel - im Idealfall mit eigener Funktion berechnet werden.

Beispiel:

def rollierender_durchschnitt(aktienkurse, fenster):
    rollierende_durchschnitte = []
    for i in range(len(aktienkurse) - fenster + 1):
        durchschnitt = sum(aktienkurse[i:i + fenster]) / fenster
        rollierende_durchschnitte.append(durchschnitt)
    return rollierende_durchschnitte

Lösung: Pandas

Programmierkonzept

Rollierender Durchschnitt kann in Pandas einfach berechnet werden.

Beispiel:

# Liste der Aktienkurse
aktienkurse = [100, 102, 99, 101, 98, 95, 97, 93, 96, 92, 
                90, 87, 89, 85, 84, 86, 88, 87, 91, 92, 94, 
                96, 93, 95, 97, 94, 92, 89, 91, 88]

# Speichern in DataFrame
data = pd.DataFrame({"Kurs": aktienkurse})

# Berechnung des rollierenden Durchschnitts
data["MA"] = data["Kurs"].rolling(5).mean()

Lernziele und Ziele des Kapitels

Modellierung

Ziele dieses Kapitels

1. (Wiederholung von) Grundlagen “linearer Regression”
2. Verwendung linearer Regression zur Beurteilung von Zusammenhängen zwischen Variablen
3. Beurteilung der “Güte” von linearen Regressionsmodellen
4. Erlernen der Durchführung linearer Regression in Python

Konzept: Lineare Regression

Modellierung: Einführung

Lineare Regression ist eine der flexibelsten und am häufigsten verwendeten statistischen Methoden in Forschung und betrieblicher Praxis. Sie wird verwendet, um die Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen zu analysieren.

Lineare Regression wird verwendet für

1. Inferenz, d.h. zum Testen einer zuvor entwickelten Hypothese über die Beziehung zwischen interessierenden Variablen
2. Prognose, d.h. zur Schätzung des Wertes einer abhängigen Variable anhand der Werte unabhängiger Variablen

Der primäre Anwendungsfall für die lineare Regressionsanalyse ist die Analyse von kausalen Beziehungen.

Diese Beziehung kann ausgedrückt werden als

\[y = f(x)\]

Einfache Lineare Regression

Modellierung: Einführung

Einfache (lineare) Regression:

Wenn wir ausdrücken möchten, dass wir an eine Beziehung zwischen Umsatz und Preis glauben, können wir dies wie folgt angeben:

\[\text{Umsatz} = f(\text{Preis})\]

Mit Hilfe der linearen Regression kann diese Beziehung quantifiziert werden, d.h. wir können bestimmen, wie stark sich der Umsatz ändert, wenn wir den Preis ändern.

Stochastisches Modell:
Es ist sehr unwahrscheinlich, dass die Beziehung zwischen den oben genannten Variablen vollständig deterministisch ist (wie in der obigen Formel angenommen). Daher müssen wir dem Modell Unsicherheit hinzufügen. Das resultierende stochastische Modell wird häufig in der Regressionsanalyse verwendet und ist wie folgt beschrieben:

\[\hat{y} = f(x) + \epsilon\]

Hier ist \(\epsilon\) eine Zufallsvariable (genannt Fehlerterm / Residuum), die nicht beobachtet werden kann und angenommen wird, dass sie einer Standardnormalverteilung folgt (d.h. \(\epsilon \sim N(0,1)\)).

Das stochastische Modell wird benötigt, um die Regressionsmodelle mit Hilfe von statistischen Tests zu bewerten.

Multiple lineare Regression

Modellierung: Einführung

In vielen (wenn nicht den meisten) Forschungs- oder Geschäftsfragen können wir keine monokausale Beziehung annehmen.

Stattdessen wird \(y\) wahrscheinlich von zahlreichen Faktoren beeinflusst.

In unserem obigen Beispiel können Umsätze auch von den Werbeausgaben abhängen, aber auch von anderen Faktoren wie dem Zustand der Wirtschaft, dem Preis, dem Verhalten der Wettbewerber usw.

Für eine solche Beziehung verwenden wir eine multiple Regressionsanalyse, die wie folgt ausgedrückt werden kann:

\[ \begin{aligned} \\[10pt] &y = f(X) \\[15pt] \text{wobei} \ &X = \begin{bmatrix} 1 & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ 1 & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n2} & \cdots & x_{np} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Kausalität vs. Korrelation

Modellierung: Einführung

https://pbs.twimg.com/media/EzSYVwnVIAUG6v9?format=jpg&name=small

Kausalität vs. Korrelation (cont’d)

Modellierung: Einführung

Wichtig:

• Während wir versuchen, eine kausale Beziehung zwischen \(y\) und \(X\) zu modellieren, können wir in der Praxis nicht feststellen, ob die Beziehung tatsächlich kausal ist.

• Stattdessen approximieren wir Kausalität, indem wir die Korrelation bewerten.

Was kann mit linearer Regression beantwortet werden

Modellierung: Einführung

Typische Hypothesen, die unter anderem mit linearer Regression angesprochen werden können:

Was ist ein Modell?

Modellformulierung

Was ist ein Modell?

• Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung der Realität.
• Modelle sind sehr nützlich, aber es ist immer ein schmaler Grat zwischen Vereinfachung und Komplexität.
  • Wenn wir die Realität so genau wie möglich modellieren wollen, kann unser Modell zu komplex werden.
  • Wenn unser Modell zu einfach ist, beschreibt es die Realität möglicherweise nicht gut genug für unsere Zwecke. Es gibt kein gutes oder schlechtes Modell.
• Es ist hilfreicher, ein Modell als geeignet oder nicht geeignet für unser aktuelles Problem zu betrachten.

Lineare Regressionsmodelle sind recht einfach, aber dennoch für viele Forschungs- und praktische Probleme sehr geeignet

Was ist ein Modell? (cont’d)

Modellformulierung

Datensatz für Beispiele

Modelformulierung

Datensatz:

Im Folgenden verwenden wir den Werbedatensatz aus “Introduction to Statistical Learning¹ für die folgenden Beispiele. Der Datensatz enthält

• Verkäufe in Tausend Einheiten

• Werbebudgets in Tausenden von Dollar für TV, Radio und Zeitungen

• Link: https://www.statlearning.com/s/Advertising.csv

Datensatz für Beispiele

Modelformulierung

import pandas as pd

link_to_csv = "https://www.statlearning.com/s/Advertising.csv"
df = pd.read_csv( link_to_csv
                 ,usecols=["TV", "radio", "newspaper","sales"])
df.head()

• usecols ist eine Liste der Spalten, die wir aus der CSV-Datei auslesen möchten.

Einfaches Modell: Verkäufe vs. TV-Werbeausgaben

Modelformulierung

Nehmen wir an, wir glauben an eine einfache lineare Beziehung zwischen Verkäufen und den TV-Werbeausgaben. Wir können dies als

\[\text{sales} = f(\text{TV})\]

beschreiben.

Dies impliziert, dass wir an eine kausale Beziehung zwischen beiden Variablen glauben. Konkret glauben wir, dass die TV-Werbeausgaben die Verkäufe antreiben oder beeinflussen.

Regressionsfunktion:

Ein einfaches lineares Regressionsmodell der oben genannten Formulierung könnte sein:

\[\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x \]

wobei \(\hat{y}\) die Vorhersage der abhängigen Variable \(y\) bei gegebenem \(X\) bezeichnet. \(\hat{\beta}_0\) und \(\hat{\beta}_1\) sind die Koeffizientenschätzungen.

Für unser Beispiel sieht die Regressionsfunktion wie folgt aus:

\[\text{sales} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1\text{TV}\]

Da die mathematische Formulierung eine Linie impliziert, stellt \(\beta_0\) den Schnittpunkt der Linie mit der y-Achse dar und \(\beta_1\) repräsentiert die Steigung der Linie.

Einfaches Modell: Verkäufe vs. TV-Werbeausgaben

Modelformulierung

Einfaches Modell: Verkäufe vs. TV-Werbeausgaben

Modelformulierung

Nehmen wir an, dass \(\beta_0\) gleich \(20\) und \(\beta_1\) gleich \(5\) ist. Dies würde bedeuten, dass unser Regressionsmodell wie folgt aussieht:

\[\text{Sales} = 20+ 5\cdot\text{TV}\]

Dies würde bedeuten, dass wir \(x\) (d.h. die Höhe der Ausgaben für TV-Werbung) einsetzen und \(\hat{y}\) (d.h. unsere auf \(x\) basierenden Umsatzprognosen) berechnen könnten.

Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass wir 100 $ für TV-Werbung ausgegeben haben, würden wir Sales von

\[\text{Sales} = 20 + 5\cdot100 = 520\]

Wenn wir \(100.000\) USD für TV-Werbung ausgeben, würden wir nach unserem Modell \(520.000\) an Sales erzielen.

Einfaches Modell: Verkäufe vs. TV-Werbeausgaben

Modelformulierung

Einfaches Modell: analytische Lösung

Modellschätzung

Wir müssen Koeffizienten finden, die eine Linie angeben, die die wahre Beziehung so gut wie möglich beschreibt.

Dies wird durch die Minimierung des Kleinste-Quadrate-Kriteriums erreicht, d.h. wir wollen die Residualsumme der Quadrate (RSS; manchmal SSR) minimieren

\[ \text{RSS} = \sum_{i=1}^n e_i^2 \]

wobei \(e_i\) definiert ist als

\[ e_i = y_i - \hat{y}_i \]

Einfaches Modell: analytische Lösung (cont’d)

Modellschätzung

Einfaches Modell: analytische Lösung (cont’d)

Modellschätzung

Einfaches Modell: analytische Lösung (cont’d)

Modellschätzung

Analytisch können wir dann \(\beta_0\) und \(\beta_1\) so ableiten, dass die RSS minimiert wird:

\[ \begin{equation} \begin{split} \hat{\beta}_1 & = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\\[10pt] \hat{\beta}_0 & = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} \end{split} \end{equation} \]

Wir schreiben \(\hat{\beta}_i\), um anzuzeigen, dass es sich um einen Schätzer handelt. Wir lassen es weg, wenn es aus dem Kontext klar ist.

Multiple Regression

Modellschätzung

Für die meisten Fragen benötigen wir mehr als eine unabhängige Variabel. Wenn dies der Fall ist, hat das Regressionsmodell die folgende Form:

\[\hat{y} = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \ldots + \beta_px_p\]

Beispiel:
Wir könnten die Beziehung zwischen Absatz und Werbeausgaben unter Verwendung aller drei Medienarten, Fernsehen, Zeitung und Radio, beschreiben. Dies würde dann wie folgt beschrieben werden:

\[\text{Sales} = \beta_0 + \beta_1\text{TV} + \beta_2\text{newspaper} + \beta_3\text{radio}\]

Multiple regression: analytical solution

Modellschätzung

Um für \(\beta_j\) zu lösen, gehen wir im Grunde genommen denselben Weg wie im einfachen Regressionsfall. Das Lösen des Gleichungssystems ist jedoch etwas komplexer. Es beinhaltet das Lösen eines Systems linearer Gleichungen der folgenden Form:

\[y = X\beta + \epsilon\]

wobei:

\[ \begin{equation} y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1p} \\ 1 & x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{np} \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \vdots \\ \beta_p \end{pmatrix}, \epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_0 \\ \epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{pmatrix}, \end{equation} \]

Ohne auf die Details der Mathematik einzugehen, kann diese Gleichung wie folgt gelöst werden:

\[ \hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty = X^{-1} \cdot y \]

Beispiel: Sales vs. TV-Werbeausgaben

Modellschätzung

Ansatz 1: manuelle Implementierung der analytischen Lösung

import numpy as np
x = df["TV"]
xbar = np.mean(x)
y = df["sales"]
ybar = np.mean(y)

b1 = sum((x-xbar)*(y-ybar)) / sum((x - xbar)**2)
b0 = ybar - b1*xbar

print("b0:", b0, "und b1: ", b1)

b0: 7.032593549127705 und b1:  0.04753664043301969

Beispiel: Sales vs. TV-Werbeausgaben

Modellschätzung

Ansatz 2: Modul statsmodels nutzen

import statsmodels.formula.api as smf

# Modell definieren und Daten übergeben
model = smf.ols("sales ~ TV", data=df)

# Modellschätzung (engl: "fitting")
model = model.fit()

paras = model.params # Modellparameter

print(paras)

Intercept    7.032594
TV           0.047537
dtype: float64

Beispiel: Sales vs. TV-Werbeausgaben, Newspaper & Radio

Modellschätzung

Modul statsmodels kann auch für multiple Regressionen genutzt werden:

import statsmodels.formula.api as smf

# Modell definieren und Daten übergeben
model = smf.ols("sales ~ TV + newspaper + radio", data=df)

# Modellschätzung (engl: "fitting")
model = model.fit()

paras = model.params # Modellparameter

print(paras)

Intercept    2.938889
TV           0.045765
newspaper   -0.001037
radio        0.188530
dtype: float64

Was können wir mit einem geschätzten Modell machen?

Modellschätzung

1. Prognose:

Das endgültige Modell kann verwendet werden, um die Frage zu beantworten

• “Wenn mir \(X\) gegeben ist, wie wird dann \(y\) sein?”
• Beispiel: Ich beabsichtige, 920.000 USD für TV-Werbung auszugeben. Welchen Umsatz erwarten wir dann?

2. Diagnose und Schlussfolgerung:

Das endgültige Modell kann verwendet werden, um Fragen wie folgende zu beantworten:

• “Wie können wir die (kausale) Beziehung zwischen \(y\) und \(X\) quantifizieren?”
• Beispiel: Wenn ich die Ausgaben für TV-Werbung um 100.000 USD erhöhe, um wie viel wird mein Umsatz voraussichtlich steigen?